Задание №3. Определение  истинности составного высказывания.
Уровень сложности: базовый; макс. балл за задание: 1; примерное время выполнения: 3 минуты.
Знать: логические  значения, операции, выражения.
Уметь: определять  истинность составного высказывания.


Пример задания.
Напишите наименьшее число x, для которого истинно высказывание:
(x > 16) И НЕ (x нечётное).
 
Разбор задания.
Мы имеем составное высказывания из двух простых связанных между собой конъюнкцией (операцией логического умножения). Конъюнкция истинна только в одном случае, когда оба простых высказывания истинны. Следовательно требуемое число должно быть больше 16 и не нечётное (т.е. чётное). Наименьшее такое число - 18.
Ответ: 18.

Пример задания.
Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:
НЕ ((x < 54) И (x простое число)) ИЛИ НЕ (x <= 16)

Разбор задания.
Это задание гораздо сложнее предыдущего. Для решения таких логических примеров не мешало бы знать законы алгебры логики для того, чтобы можно было упростить выражение.

Сначала "избавимся" от отрицания:
(x >= 54) ИЛИ (x не простое число) ИЛИ (x > 16)

В данном примере трудно сообразить, для какого наибольшего числа x это высказывание будет ложно. Но можно ко всему выражению применить "отрицание" и найти для какого наибольшего числа x это высказывание будет истинным!
(x < 54) И (x  простое число) И (x <= 16)

Глядя на это выражение можно понять, что наибольшее простое число х , которое меньше 54, меньше либо равно 16  - это число 13, что и будет ответом к нашему заданию.
Ответ: 13.


Проводя анализ результатов пробного ОГЭ по информатике в нашем районе и увидев процент решаемости заданий на логику (задание №3), я пришел к такому выводу, что просто необходимо разобрать побольше типичных задач. Предлагаю Вам решить некоторые такие задания.

Задание №1. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

(x > 72) ИЛИ НЕ (x чётное).

Задание №2. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

НЕ (x ≤ 26) ИЛИ (x нечётное).

Задание №3. Напишите наименьшее число x, для которого истинно высказывание:

НЕ (x ≤ 25) И (x кратное 5) И (x ≠ 30).

Задание №4. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

(x ≥ 90) ИЛИ НЕ (x кратное 3) ИЛИ (x ≠ 87).

Задание №5. Напишите наибольшее число x, для которого истинно высказывание:

НЕ ((x ≥ 23) ИЛИ НЕ (x нечётное)) И НЕ (x > 25).

Задание №6. Напишите наименьшее число x, для которого ложно высказывание:

НЕ ((x ≥ 100) И НЕ (x кратно 4)) ИЛИ НЕ (x > 125).

Задание №7. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

НЕ ((x < 54) И (x простое число)) ИЛИ НЕ (x ≤ 16).

 

Дальше разберём каждое задание по отдельности, и вы сможете сравнить свои ответы с правильными.

Задание №1. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

(x > 72) ИЛИ НЕ (x чётное).

Разбор задания №1. Для успешного решения заданий такого типа необходимо знать, что такое конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и законы Де Моргана. Также, необходимо для конъюнкции и дизъюнкции уметь строить таблицы истинности.

Итак, перед нами сложное высказывание, состоящее из двух простых:

(x > 72) ИЛИ НЕ (x чётное).

Для удобства я выделил высказывания разным цветом. Необходимо помнить, что связками между простыми высказываниями будут конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), а также и другие логические операции, но их изучают в старших классах и в заданиях ОГЭ они не встречаются.

Когда же это сложное высказывание будет ложным? А ложным оно будет тогда и только тогда, когда оба простых высказывания будут ложными. Следовательно (x > 72) должно давать ложь и НЕ (x чётное) тоже должно давать ложь.

Теперь всё делаем по порядку.

  1. Все числа x, которые меньше или равны 72, нам подойдут. Из условия знаем, что число должно быть наибольшим. Следовательно, возьмём число 72. Проверяем условие 72 > 72 – нет, это ложь.
  2. Разберём второе высказывание НЕ (x чётное). Сначала «избавимся» от отрицания. НЕ (x чётное) - это тоже самое, что (x нечётное). При проверке первого высказывания мы выяснили, что число не может быть больше 72. Подставим его во вторую часть высказывания. (72 нечётное) – нет, это ложь, следовательно, нам вполне подходит.

Ответ: 72.

 

Задание №2. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

НЕ (x ≤ 26) ИЛИ (x нечётное).

Разбор задания №2. По аналогии с первым заданием выполняем и это. Мы имеем сложное высказывание. Связаны высказывания между собой дизъюнкцией, а дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны все её составляющие!

  1. Разберём первую часть - НЕ (x ≤ 26). По законам Де Моргана «избавляемся» от отрицания. НЕ (x ≤ 26) = (x > 26). Чтобы эта часть высказывания была ложной нам подойдут все числа, которые меньше, чем 26 и само число 26, т.к. (26 > 26) – это ложь.
  2. По условию нам нужно наибольшее число x. Подставим во вторую часть высказывания (x нечётное) число 26. (26 нечётное) – нет, это ложь. Нам подходит, следовательно, оно и будет ответом.

Ответ: 26.

 

Это были задачи попроще. Теперь разберём немного потруднее.

Задание №3. Напишите наименьшее число x, для которого истинно высказывание:

НЕ (x ≤ 25) И (x кратное 5) И (x ≠ 30).

Разбор задания №3. Мы имеем сложное высказывание, но только оно состоит из трёх простых высказываний, связанных между собой конъюнкцией (логической операцией И). Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все части составного высказывания будут истинны!

  1. Рассмотрим первую часть НЕ (x ≤ 25). По закону Де Моргана «избавимся» от отрицания. НЕ (x ≤ 25) = (x > 25). Нам подойдёт любое число больше, чем 25, т.е. от 26 до бесконечности. Из условия мы знаем, что нам нужно наименьшее из таких чисел – это 26.
  2. Рассмотрим вторую часть составного высказывания - (x кратное 5). Число 26 нам не подходит, т.к. оно не кратно пяти. Все числа кратные пяти заканчиваются на пять или на ноль. Нам бы подошло число 30. Оно больше, чем 25 и оно кратно 5.
  3. Рассмотрим третью часть составного высказывания, она то и даст верный ответ на нашу задачу. Число x не должно равняться 30, следовательно, наш x – это число больше 25, кратное 5, но не равняется 30. Такое ближайшее число – это 35. Оно полностью подходит всем условиям и является ответом к нашему заданию.

Ответ: 35.

 

Задание №4. Напишите наибольшее число x, для которого ложно высказывание:

(x ≥ 90) ИЛИ НЕ (x кратное 3) ИЛИ (x ≠ 87).

Разбор задания №4. Как и в предыдущем задании, мы имеем сложное, которое состоит из трёх простых, высказывание, только все они связаны дизъюнкцией (логической операцией ИЛИ). А ложно составное высказывание будет ложно только в том случае, когда будут ложны все его части!

  1. Рассмотрим первую часть (x ≥ 90). Она будет ложной в том случае, когда x будет строго меньше 90, т.е. от 89 до минус бесконечность. Так как от нас требуется найти наибольшее из этих чисел, то пока остановимся на числе 89.
  2. Далее рассмотрим второе высказывание НЕ (x кратное 3). Если «избавится» от отрицания, то мы имеем выражение (x не кратно 3). Это высказывание будет ложным в тех случаях, когда число на три делится! Ближайшее наибольшее число из диапазона от минус бесконечность до 89 будет число 87. Остановимся пока на нём и перейдем к третьему высказыванию.
  3. Из высказывания (x ≠ 87) становится ясным, что число 87 нам вполне подходит, т.к. выражение (87 ≠ 87) ложно.

Ответ: 87.

 

Задание №5. Напишите наибольшее число x, для которого истинно высказывание:

НЕ ((x ≥ 23) ИЛИ НЕ (x нечётное)) И НЕ (x > 25).

Разбор задания №5. Обратите внимание, что всё наше сложное высказывание включает в себя одно сложное высказывание (выделено красными скобками) НЕ ((x ≥ 23) ИЛИ НЕ (x нечётное)) и одно простое высказывание НЕ (x > 25), это всё связано конъюнкцией (логической операцией И). Всё выражение будет истинным только в том случае, когда обе его части будут истинны!

  1. В данном примере сразу применим закон Де Моргана. Когда мы отрицаем всё то, что заключено в скобках, то все знаки внутри скобок «переворачиваем».

НЕ ((x ≥ 23) ИЛИ НЕ (x нечётное)) = ((x < 23) И (x нечётное))

Следовательно, наше число x должно быть меньше, чем 23 и нечётное. Подойдёт число 21. Проверим его в следующей части выражения.

  1. Имеем высказывание НЕ (x > 25). «Избавимся» от отрицания и подставим в него для проверки число 21. Проверяем: (21 ≤ 25) – это истина.

Ответ: 21.

Задание №6. Напишите наименьшее число x, для которого ложно высказывание:

НЕ ((x ≥ 100) И НЕ (x кратно 4)) ИЛИ НЕ (x > 125).

Разбор задания №6. По структуре задание напоминает предыдущее. Оно также включает в себя одно сложное высказывание (выделено красными скобками) НЕ ((x ≥ 100) И НЕ (x кратно 4)) и одно простое высказывание НЕ (x > 125), это всё связано дизъюнкцией (логической операцией ИЛИ). И это всё должно быть ложно.

  1. «Избавляемся» от отрицания – все знаки внутри скобок «переворачиваем»:

НЕ ((x ≥ 100) И НЕ (x кратно 4)) = ((x < 100) ИЛИ (x кратно 4))

Мы имеем вот такое выражение ((x < 100) ИЛИ (x кратно 4)), осталось понять, когда же оно ложно. А ложно оно будет тогда и только тогда, когда ложны его обе части, т.е. x – это число от 100 до плюс бесконечности и оно не должно делиться нацело на 4. Такое наименьшее число – 101.

  1. Подставим для проверки это число во вторую часть выражения. НЕ (101 > 125). К сожалению, это выражение истинно, а из условия мы знаем, что всё выражение должно быть ложно. Значит, число x должно быть строго больше 125 и не должно делится на 4. Такое минимальное число - 126.

Ответ: 126.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

© 2019 Информатика и ИКТ. Все права защищены

^ Наверх